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高中数学人教B版必修二2.3.1圆的标准方程二课件.ppt

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中小学精编教育课件 圆的标准方程 求曲线方程的一般步骤: (1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任 意一点M的坐标 (2)写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)}; (3)用坐标表示条件p(M),列出方程 f(x,y)=0 (4)化方程 f(x,y)=0为最简形式 (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点。 建系、设点 条件立式 代换 化简方程 查缺补漏 求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程 设M(x,y)是圆上任意一点, y 根据定义,点M到圆心C的 距 离等于r,所以圆C就是集合 M r C P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式,点M适 O x 合的条件可表示为: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 说明: 把上式两边*方得: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 1、特点:明确给出了圆心 坐标和半径。 2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。 练*:1、写出下列各圆的方程: (1)圆心在点C(3, 4 ),半径是 5 (2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3) (x-3)2+(y-4)2=5 (x-8)2+(y+3)2=25 补充练*: 写出下列各圆的圆心坐标和半径: (1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2 (1,0) 6 (-1,2) 3 (-a,0) |a| 例1:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的 圆的方程。 y 解:设所求圆的方程为: (x-1)2+(y-3)2=r2 C 因为圆C和直线3x-4y-7=0相切 所以圆心C到这条直线的距离等 O 于半径r M x 根据点到直线的距离公式,得 | 3×1— 4×3 — 7 | 16 r= 32+(-4)2 = 5 因此,所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2 = 256 25 练*2: 已知一个圆的圆心在原点,并与直线4x+3y-70=0相 切,求圆的方程。 x 2+y2=196 例2 已知圆的方程是x2 y2 r 2 ,求经过圆上一点 M (x0 , y0 ) 的切线的方程。 解:设切线的斜率为 k,则 k - 1 . kOM kOM y0 x0 , k - x0 . y0 经过点M的切线方程是 y M (x0 , y0 ) y - y0 - x0 y0 (x - x0 ), O x 因为点M在圆上,所以 x02 y02 r2, 所求的切线方程是 x0x y0 y r2. 当点M在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用. 例2 已知圆的方程是 x2 y2 r 2,求经y 过圆上一点 M (x0 , y0 ) 的切线的方程。 P(x , y ) 解法二(利用*面几何知识): M (x0 , y0 ) 在直角三角形OMP中 O x 由勾股定理:OM2+MP2=OP2 x0x +y0 y = r2 圆的方程是 x2 y2 r,2 经过圆上一点 M (x0 , y0 ) 的切线的方程 x0x +y0 y = r2 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 练*3:写出过圆x2+y2=10 上一点 M(2, 6) 的切线方程。 2x + 6 y =10 练*4:已知圆的方程是x2+y2=1,求: (1)斜率等于1的切线的方程; 提示:设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离等于半 径1,得: |b| =1 解得b=± 2 12+(-1)2 所以切线方程为:y = x± 2 (2)在y轴上截距是 2 的切线方程。 y = ± x+ 2 例3:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m, 拱度高(O精P确=4到m0,.0在1m建) 造时每隔4m需用一个支柱支y撑,求支柱A2P2的长 解:建立如图所示的坐标 系,设圆心坐标是(0,b) 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。 x 把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2 解得:b= -10.5 r2=14.52 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答:支柱A2P2的长度约为3.86m。 课后思考题: 1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。 (x+ 4 )2+(y+ 4 )2= 50 3 3 9 2、从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线,求切线方 程。 x+3y=10 或 3x-y=10 小结 (1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为: x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数,因此必须具 备三个独立的条件才能确定圆;对于由已知条件容易求得圆心 坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的 标准方程。 (3) 注意圆的*面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实 际问题。 作业: *题7.7 P81 1(2)、2 、 4



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