当前位置: 首页 > >

2019版高考数学一轮复*第2章函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性课件理

发布时间:

第2章 函数、导数及其应用 2. 3 函数的奇偶性与周期性 基础知识过关 [知识梳理] 1.函数的奇偶性 (1)定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一 f(-x)=f(x) ,那么 f(x)就叫做偶函数;一 个 x,都有 般 地 , 如 果 对 于 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有 f(-x)=-f(x) ,那么 f(x)就叫做奇函数. (2)奇偶函数的性质 坐标原点 ①奇函数的图象关于 y轴 图象关于 对称. 对称;偶函数的 ②若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性,则 其单调性 ;若偶函数在关于坐标原点对称的区间 上有单调性,则其单调性 相反 . 相同 2.函数奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数 f(x)在 x=0 处有定义, 即 f(0)有意义, f(0)=0 那么一定有 . (2)如果函数 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(|x|). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型, 即 f (x ) =0,x∈D,其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集. (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶 函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小) 值, 取最值时的自变量互为相反数; 奇函数在关于原点对称 的区间上的最值互为相反数, 取最值时的自变量也互为相反 数. 3.对称性的三个常用结论 (1)若函数 y=f(x+a)是偶函数,即 f(a-x)=f(a+x),则 函数 y=f(x)的图象关于直线 +x),则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称; (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a x=a 对称; (3)若函数 y=f(x+b)是奇函数,即 f(-x+b)+f(x+b)= 0,则函数 y=f(x)关于点 (b,0) 中心对称. 4.函数的周期性 定义:一般地,对于函数 f(x),如果存在一个不为零的 实数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)= f(x) , 那么 函数 f(x) 就 叫做周 期函 数, 称 T 为这 个函数 的 周期 .对于周期函数 f(x),如果在它的所有周期中存 在一个最小正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的 最小 正周期. 5.函数周期的常见结论 设函数 y=f(x),x∈R,a>0. (1)若 f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为 2a ; (2)若 f(x+a)=-f(x),则函数的周期为 2a ; 1 (3)若 f(x+a)= ,则函数的周期为 2a ; f ?x ? 1 (4)若 f(x+a)=- ,则函数的周期为 2a ; f ?x ? (5)若函数 f(x)关于直线 x=a 与 x=b 对称, 那么函数 f(x) 的周期为 2|b-a|; (6)若函数 f(x)关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则 函数 f(x)的周期是 2|b-a|; (7)若函数 f(x)关于直线 x=a 对称,又关于点(b,0)对称, 则函数 f(x)的周期是 4|b-a|; (8)若函数 f(x)是偶函数,其图象关于直线 x=a 对称, 则其周期为 2a; (9)若函数 f(x)是奇函数,其图象关于直线 x=a 对称, 则其周期为 4a. 6.掌握一些重要类型的奇偶函数 (1)函数 f(x)=ax+a-x 为偶函数, 函数 f(x)=ax-a-x 为奇 函数; ax-a-x a2x-1 (2)函数 f(x)= x -x= 2x (a>0 且 a≠1)为奇函数; a +a a +1 b-x (3)函数 f(x)=loga 为奇函数; b+x (4)函数 f(x)=loga(x+ x2+1)为奇函数. [诊断自测] 1.概念思辨 (1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原 点.( × ) (2)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数, 若在(-∞, 0)上是减函数,则在(0,+∞)上是增函数.( √ ) (3)若函数 y=f(x+a)是偶函数, 则函数 y=f(x)的图象关 于直线 x=a 对称.( √ ) (4)若函数 y=f(x+b)是奇函数, 则函数 y=f(x)的图象关 于点(b,0)中心对称.( √ ) 2.教材衍化 (1)(必修 A1P39A 组 T6)已知函数 f(x)是奇函数, 且当 x>0 1 时,f(x)=x +x,则 f(-1)=( 2 ) A.-2 B.0 C.1 D.2 解析 ? ? 1 ? 2 f(-1)=-f(1)=-? ?1 + ?=-2.故选 1? ? A. (2)(必修 A1P39B 组 T3)设 f(x)为奇函数,且在(-∞,0) 内是减函数,f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集为( A.(-1,0)∪(2,+∞) ) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2) 解析 ∵f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内单调递减, ∴f(x)在(0,+∞)内也单调递减. 又∵f(-2)=0,∴f(2)=0, 函数 f(x)的大致图象如右图, ∴xf(x)<0 的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选 C. 3.小题热身 (1)(2015· 全国卷Ⅰ)若函数 f(x)=xln (x+ a+x2)为偶函 1 数,则 a=________. 解析 由已知得 f(-x)=f(x), 即-xln ( a+x2-x)=xln (x+ a+x2),则 ln (x+ a+x2)+ln ( a+x2-x)=0, ∴ln [( a+x2)2-x2]=0,得 ln a=0, ∴a=1. (2)(2018· 山西四校联考)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 ? 3? ? f(x)=-f?x+2?



友情链接: