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广东省英德市一中高三数学模拟考试试题 理 新人教A版【会员独享】

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英德市一中 2012 届高三模拟考试数学(理科)试题
本试卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线 内。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。 第一部分选择题(共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题的 4 个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. 设 a ? log2 3 , b ? log4 3 , c ? 0.5 ,则 (A) c ? b ? a (B) b ? c ? a (C) b ? a ? c (D) c ? a ? b

2.设向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (3sin ? ,1) ,且 a // b ,则 cos 2? 等于 (A) ?

? 3

(B) ?

? 3

(C)

? 3

(D)

? 3

3.已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是 (A) 两个函数的图象均关于点 ( ? 成中心对称 (C)两个函数在区间 ( ? 4.已知曲线 C : y ?

? ? , 0 ) 成中心对称 (B) 两个函数的图象均关于直线 x ? ? 4 4

? ? , ) 上都是单调递增函数(D)两个函数的最小正周期相同 4 4

1 ( x ? 0) 及两点 A1 ( x1 ,0) 和 A2 ( x2 ,0) ,其中 x2 ? x1 ? 0 .过 A1 , A2 分 x

别作 x 轴的垂线,交曲线 C 于 B1 , B2 两点,直线 B1B2 与 x 轴交于点 A3 ( x3 ,0) ,那么 (A)x1 ,

x3 x , x2 成等差数列 (B)x1 , 3 , x2 成等比数列 (C)x1 , x3 , x2 成等差数列 (D)x1 , x3 , x2 2 2

成等比数列 5.如图,四面体 OABC 的三条棱 OA, OB, OC 两两垂直, OA ? OB ? 2 , OC ? 3 , D 为 四面体 OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点 D ,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点 D ,使四面体 ABCD 是正三棱锥 ③存在点 D ,使 CD 与 AB 垂直并且相等 ④存在无数个点 D ,使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是 O A B C D

(A)①②

(B)②③

(C)③

(D)③④ )

6. 已知 O 是 ?ABC 所在*面内一点, D 为 BC 边中点, 且 2OA ? OB ? OC ? 0 , 那么 ( A. AO ? OD 7.已知椭圆 B. AO ? 2OD C. AO ? 3OD D. 2 AO ? OD

x2 ? y 2 ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,在长轴 A1A2 上任取一点 M,过 M 作垂直于 A1A2 的 4
( )

直线交椭圆于点 P,则使得 PF 1 ? PF 2 ? 0 的点 M 的概率为 A.

2 3

B.

6 3

C.

2 6 3

D.

1 2

8.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (4) ? 1, f ?( x)为f ( x) 的 导函数,已知 y ? f ?( x) 的图象如图所示,若两个正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1, 则 A. ( , )

1 1 5 3

b ?1 的取值范围是( ) a ?1 1 1 B. ( ??, ) ? (5, ??) C. ( ,5) D. (??,3) 3 3
频率 0.45

二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (一)必做题(9~13 题) :

9.设 S 为非空数集,若 ?x, y ? S ,都有 x ? y, x ? y, xy ? S ,则称 S 为封闭集.下列命题
0.25 0.15

①实数集是封闭集;②全体虚数组成的集合是封闭集;③封闭集一定是无限集;④若 S 为封
O

0.10

闭集,则一定有 0 ? S ;⑤若 S , T 为封闭集,且满足 S ? U ? T ,则集合 U 也是封闭集, 其中真命题是 .
3

90 100 110 120 130 140

分数

10.一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积为_____.
3 4 3

11.某展室有 9 个展台,现有 3 件展品需要展出,要求每件展品 独自占用 1 个展台,并且 3 件展品所选用的展台既不在两端又 不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求 3 件展 品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法 有____种. 12.已知数列 {an } 的各项均为正整数,对于 n ? 1, 2, 3, ? ? ? ,有
3 4

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

?3an ? 5, an为奇数, ? an?1 ? ? an , an为偶数.其中k为使an?1为奇数的正整数 ? ? 2k

* 当 a1 ? 11 时, a100 ? ______;若存在 m ? N ,当 n ? m 且 an 为奇数时, an 恒为常数 p ,

则 p 的值为______. 13.已知两定点 M (?1,0), N (1,0) ,若直线上存在点 P,使得 | PM | ? | PN |? 4 ,则该直线 为“A 型直线” 。给出下列直线,其中是“A 型直线”的是 ① y ? x ?1 ②y?2 ③ y ? ?x ? 3 。 ④ y ? ?2 x ? 3

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都选的只计算 14 题的得分) 14. 《坐标系与参数方程》选做题:如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和 割线 PBC , 已知 PA ? 2 2 ,PC ? 4 , 圆心 O 到 BC 的距离为 3 , 则圆 O 的半径为_____. 15. 《 几 何 证 明 选 讲 》选 做 题 : 已 知椭 圆 C : ? C O
?

B

P

? x ? cos ? , (? ? R) 经 过点 ? y ? 2sin ?

A

1 ( m, ) ,则 m ? ______,离心率 e ? ______. 2
三.解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、 (12 分)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同 一 水 * 面 内 的 两 个 测 点 C 与 D . 现 测 得

?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s , 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为

? ,求塔高 AB .

17. ( 12 分)某商场进行促销活动,到商场购物消费满 100 元就可转动转盘(转盘为十二等 分的圆盘)一次进行抽奖,满 200 元转两次,以此类推(奖金累加) ;转盘的指针落在 A 区域 中一等奖,奖 10 元,落在 B、C 区域中二等奖,奖 5 元,落在其它区域则不中奖.一位顾客 一次购物消费 268 元, (Ⅰ) 求该顾客中一等奖的概率; (Ⅱ) 记 ? 为该顾客所得的奖金数,求其分布列; A B

C

(Ⅲ) 求数学期望 E? (精确到 0.01).

18. (本小题共 14 分)某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过 检测,每一件二等品通过检测的概率为

2 .现有 10 件产品,其中 6 件是一等品,4 件是二等 3

品. (Ⅰ) 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率; (Ⅱ)随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为 X ,求 X 的分布列; (Ⅲ) 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.

19.(14 分)如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? *面 ABCD , AF // DE ,

DE ? 3 AF , BE 与*面 ABCD 所成角为 600 .
(Ⅰ)求证: AC ? *面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (Ⅲ)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置, 使得 AM // *面 BEF ,并证明你的结论. F

E

D

C

A

B

20. (14 分)已知函数 f ( x) ?

a ( x ? 1) ,其中 a ? 0 . x2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ( x) 的切线,求实 数 a 的值; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ln x ? x2 f ( x) ,求 g ( x) 在区间 [1, e ] 上的最大值.(其中 e 为自然对数的 底数)

21. (14 分)已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 过 F 的直线交 y 轴正半轴于点 P , 交抛物线于 A, B 两点,其中点 A 在第一象限.(Ⅰ)求证:以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相 切; (Ⅱ)若 FA ? ?1 AP , BF ? ?2 FA ,

?1 1 1 ? [ , ] ,求 ?2 的取值范围. ?2 4 2

英德市一中 2012 届高三模拟考试答案 一、1、A;2、D;3、C;4、A;5、D;6、A 7、B8、C(选做) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ①④ 10. 12 11. 60 , 48 ; 12. 62 ;1 或 5 13、 ①④ 14. 2 15.

?

15 3 , 4 2
BC CD ? .所 sin ?BDC sin ?CBD
Rt△ ABC
中 ,

16、解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .由正弦定理得 以

BC ?

CD sin ?BDC s · sin ? ? sin ?CBD sin(? ? ? ) ?a B s ·t ? a ? n ?nC A . s ?? i ? n C ( s





A ? B t

B

i )

n
1 1 1 11 23 ? ? 2? ? ? 12 12 12 12 144

17.解: (Ⅰ) 设事件 A 表示该顾客中一等奖 P( A) ? 所以该顾客中一等奖的概率是

23 144

…………4 分 …………5 分 P (? ? 20) ?

(Ⅱ) ? 的可能取值为 20,15,10,5,0

1 1 1 ? ? , 12 12 144

z E

1 2 1 2 2 1 9 11 ? ? ? ? 2? ? ? , P(? ? 10) ? 12 12 36 12 12 12 12 72 2 9 1 9 9 9 P(? ? 5) ? 2 ? ? ? ,P(? ? 0) ? ? ? (每个 1 分) …………10 分所以 ? 的 12 12 4 12 12 16 P(? ? 15) ? 2 ?
分布列为 F 20 15 10 5 A x D 0 B9 C y

?
P
…10 分

1 144

1 36

11 72

1 4

16

(Ⅲ)数学期望 E? ? 20 ?

1 1 11 1 ? 15 ? ? 10 ? ? 5 ? ? 3.33 ……14 分 144 36 72 4
……1 分

18. (共 13 分)解:(Ⅰ)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为 A

事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”…2 分

p( A) ?

6 4 2 13 ? ? ? 10 10 3 15
,

………4 分(Ⅱ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3.
2 1 C4 C 3 P( X ? 1) ? 3 6 ? C10 10 1 2 C4 C 1 P( X ? 2) ? 3 6 ? C10 2

3 0 C4 C 1 P( X ? 0) ? 3 6 ? C10 30

,

,

P( X ? 3) ?

0 3 C4 C6 1 ? . 8分 3 C10 6

X
P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

……………9 分

(Ⅲ)设随机选取 3 件产品都不 能通过检测的事件为 B ………10 分 事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以, P ( B ) ?

1 1 3 1 ?( ) ? . …13 分 30 3 810
E

z

19.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明: 因为 DE ? *面 ABCD ,所以 DE ? AC .……2 分 因为 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD , 从而 AC ? *面 BDE . ………4 分 F A x

(Ⅱ)解:因为 DA, DC, DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示. 因为 BE 与*面 ABCD 所成角为 60 ,即 ?DBE ? 60 ,
0

D M ………………5B

C y

分 所以

ED ? 3 .由 AD ? 3 可知 DE ? 3 6 , AF ? 6 .……6 分 DB

则 A(3, 0, 0) , F (3,0, 6) , E(0,0,3 6) , B(3,3, 0) , C (0,3, 0) , 所以 BF ? (0, ?3, 6) , EF ? (3,0, ?2 6) , 设*面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? 令z? ……………7 分 ,即 ?

? ?n ? BF ? 0 ? ?n ? EF ? 0

? ??3 y ? 6 z ? 0 ?3x ? 2 6 z ? 0 ?



6 ,则 n ? (4, 2, 6) . ………8 分因为 AC ? *面 BDE ,所以 CA 为*面
n ? CA n CA ? 6 13 . ……9 ? 3 2 ? 26 13

BDE 的法向量,CA ? (3, ?3,0) , 所以 cos? n, CA? ?


因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为

13 . 13

……10 分

(Ⅲ)解:点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t , 0) .则 AM ? (t ? 3, t ,0) , 因 为 AM // * 面 BEF , 所 以 AM ? n ? 0 ,

? 2 t? 0 ………11 分 即 4(t ? 3) ,解得

t ? 2 .……12 分

1 BD ,符合题意. ……13 分 3 a(2 ? x) 20. (本小题满分 14 分)解: (Ⅰ) f ?( x) ? , (x ? 0) , …3 分在区间 ( ??, 0) x3
此时,点 M 坐标为 (2, 2, 0) , BM ? 和 (2, ??) 上, f ?( x ) ? 0 ;在区间 (0, 2) 上, f ?( x ) ? 0 . 所以, f ( x ) 的单调递减区间是

(??, 0) 和 (2, ??) ,单调递增区间是 (0, 2). … 4 分(Ⅱ)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) , 则

a ( x0 ? 1) ? ? y0 ? x 2 0 ? ? ? x0 ? y0 ? 1 ? 0 ? a (2 ? x ) 0 ? ?1 3 ? ? x0
a ? 1. 解得 x0 ? 1 ,

…7 分(1 个方程 1 分)

x) ? n l x 1? ?a ……8 分 (Ⅲ)g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) , 则 g ?(
a ?1

, ……

9 分解 g ?( x ) ? 0 ,得 x ? e

,所以,在区间 ( 0, e ……10 分

a ?1

) 上, g ( x) 为递减函数,在区间

( ea ?1 , ? ?) 上, g ( x) 为递增函数.
当e
a ?1

? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [ 1, e]上, g ( x) 为递增函数,所以 g ( x) 最大值为

g (e) ? e ? a ? ae .
数,

……11 分当 e

a ?1

? e ,即 a ? 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递减函
a ?1

所以 g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 .……12 分当 1 < e

< e ,即 1 ? a ? 2 时, g ( x) 的最大值为 e e ,所以,1 ? a ? g (e) 和 g (1) 中较大者; g (e) ? g (1) ? a ? e ? ae ? 0 ,解得 a ? e ?1 e ?1 e ? a ? 2 时 , g ( x) 最 大 值 为 时 , g ( x) 最 大 值 为 g (e) ? e ? a ? ae , 13 分 e ?1 g (1) ? 0 . ………14 分 e e 综上所述,当 0 ? a ? 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae ,当 a ? 时, g ( x) 的 e ?1 e ?1 p 最大值为 g (1) ? 0 .21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知 F ( , 0) ,设 A( x1 , y1 ) , 2
2 则 y1 ? 2 px1 ,

圆心坐标为 (

2 x1 ? p y1 2x ? p , ) ,圆心到 y 轴的距离为 1 , 4 4 2

…… 2 分圆的半径为

FA
切.

2x ? p 1 p , ? ? x1 ? (? ) ? 1 2 2 2 4
……5 分

…… 4 分所以 ,以线 段 FA 为直 径的圆 与 y 轴相

(Ⅱ)解法一:设 P(0, y0 ), B( x2 , y2 ) ,由 FA ? ?1 AP , BF ? ?2 FA ,得

( x1 ?

p p p , y1 ) ? ?1 (? x1 , y0 ? y1 ) , ( ? x2 , ? y2 ) ? ?2 ( x1 ? , y1 ) ,……6 分 2 2 2 p p p 所以 x1 ? ? ??1 x1 , y1 ? ?1 ( y0 ? y1 ) , ? x2 ? ?2 ( x1 ? ) , y2 ? ??2 y1 ,…8 分 2 2 2
2 2 由 y2 ? ??2 y1 ,得 y2 ? ?22 y12 .又 y12 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ,所以 x2 ? ?22 x1 . …10 分

代入

p p p p p ? x2 ? ?2 ( x1 ? ) ,得 ? ?22 x1 ? ?2 ( x1 ? ) , (1 ? ?2 ) ? x1?2 (1 ? ?2 ) , 2 2 2 2 2

整 理 得 x1 ?

p 2?2

, … 12 分 代 入 x1 ?

p ?p p p ? ?? 1x 1, 得 ? ?? 1 ,所以 2 2?2 2 2?2

1

?2

? 1?

?1 ,…13 分 ?2
4 ?1 1 1 ? [ , ] , 所 以 ?2 的 取 值 范 围 是 [ , 2] . 3 ?2 4 2
… 14 分 解 法 二 : 设

因为

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , AB : x ? my ?

p p 2 , 将 x ? m ?y 代 入 y ?2 p x , 得 2 2

y 2 ? 2 pmy ? p2 ? 0 ,
所以 y1 y2 ? ? p 2 (*) , ……6 分由 FA ? ?1 AP , BF ? ?2 FA ,得

( x1 ?

p p p , y1 ) ? ?1 (? x1 , y0 ? y1 ) , ( ? x2 , ? y2 ) ? ?2 ( x1 ? , y1 ) , …7 分 2 2 2 p p p 所以, x1 ? ? ??1 x1 , y1 ? ? 1( y 0 ? y1) , ? x2 ? ?2 ( x1 ? ) , y2 ? ??2 y1 , ……8 2 2 2

分 将 y2 ? ??2 y1 代入 (*) 式, 得y ?
2 1

p2

?2

, ……10 分所以 2 px1 ?

p2

?2

,x1 ?

p 2?2

. …

12 分 代入 x1 ?

p ? ? 1 1 1 ? ??1x 1,得 ? 1 ? 1 . … 13 分因为 1 ? [ , ] ,所以 ?2 的取值范围是 2 ?2 ?2 ?2 4 2
…14 分

4 [ , 2] . 3




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