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高数,第二章*题解答

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*题 2-1
f ( x) ? f (?1) 10 x 2 ? 10 ? 10 lim ( x ? 1) ? ?20 . ? lim x ??1 x ??1 x ? (?1) x ?1

1.【解】 f ? ?1) ? lim (

x ??1

s(t ) ? f (2) t3 ? 8 ? lim ? lim(t 2 ? 4t ? 4) ? 12(m / s) . 2.【解】 v(2) ? lim t ?2 t ?2 t ? 2 t ?2 t ?2
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f [ x0 ? (??x)] ? f ( x0 ) ? ? lim ? ? f ? x0 ) ; ( ?x ?0 ??x ?0 ?x ??x f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? h) ? lim (2) lim h ?0 h ?0 h h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? lim ? lim ? f ⅱ 0 ) ? f ( x0 ) ? 2 f ( x0 ) ; (x h ?0 ? h ?0 h ?h f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? 2?x) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) ? lim (3) lim ?x ?0 ?x ?0 2?x 2?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) 1 ? lim ? lim ?2 ?x ?0 2 ?x?0 2?x ?2?x 1 3 ? f ⅱ 0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ; (x 2 2 f ( x) f ( x) ? f (0) ? lim ? f? . (0) (4) lim x ?0 x ?0 x x?0 f ( x) ? 2, lim( x ? 2) ? 0 ,? lim f ( x) ? 0 , 4.【解】? lim x?2 x?2 x ? 2 x?2
3.【解】(1) lim

? f ( x) 在 x ? 2 连续,? f (2) ? lim f ( x) ? 0 ,
x ?2

? f ? ? lim (2)
x ?2

f ( x) ? f (2) f ( x) ? lim ? 2. x ?2 x ? 2 x?2
x ?1

(1) 5.【解】? k切 ? y ? ? lim

y( x) ? y(1) x2 ? x ? 2 ? 2 ? lim ? 1 ,? k法 ? ?1 , x ?1 x ?1 x ?1

? 切线方程为 y ? 2 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 ;
法线方程为 y ? 2 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 3 ? 0 . 6.【解】? k切 ? (cos x)??? / 3 ? (? sin x) | ?? / 3 ? ? x x

2 3 ,? k法 ? , 2 3

? 切线方程为 y ?

1 2 ? 1 3 ? (x ? ) . ?? ( x ? ) ;法线方程为 y ? ? 2 3 2 2 3 3

7.【解】? k切 ? (ex )??0 ? (ex ) |?0 ? 1 ,? k法 ? ?1 , x x

? 切线方程为 y ? 1 ? x ,即 x ? y ? 1 ? 0 ;
法线方程为 y ? 1 ? ? x ,即 x ? y ? 1 ? 0 .

(1) 8.【解】? f ? ? ? lim ?
x ?1

f ( x) ? f (1) x2 ? 1 ? 2 ? lim ? 2, x ?1? x ?1 x ?1
f ( x) ? f (1) 3x ? 1 ? 2 ? lim ?3, ? x ?1 x ?1 x ?1

f ? ? ? lim (1) ?
x ?1

? f ? ⅱ ? f ? (1) , ? f ( x) 在 x ? 1 不可导. (1)
(0) 9.【解】? f ? ? ? lim ?
x ?0

f ( x) ? f (0) ln(1 ? x) ? 0 ? lim ?1, ? x ?0 x?0 x

f ? ? ? lim (0) ?
x ?0

f ( x) ? f (0) 1? x ? 1? x 2x ? lim ? lim ? 1, ? ? x ?0 x ?0 x( 1 ? x ? 1 ? x ) x?0 x

(0) ? f? ⅱ ? f? (0) ? 1 ,? f ? ? 1 . (0)
(0) 10.【解】 ? f ? ? ? lim ? f ( x) ? f (0) sin x ? 0 ? lim ? 1, ? x ?0 x ?0 x?0 x f ( x) ? f (0) x?0 f ? ? ? lim (0) ? lim ?1, ? ? x ?0 x ?0 x?0 x

(0) ? f? ⅱ ? f? (0) ? 1 ,? f ? ? 1 ; (0)

?cos x, x ? 0 . ? f ? x) ? ? ( ?1, x ? 0

f ( x) ? f (0) 11.【解】 ? f ? ? lim (0) ? lim x ?0 x ?0 x?0

1 x 2 sin ? 0 1 x ? lim xsin ? 0 , x ?0 x x

? f ( x) 在 x ? 0 可导;? f ( x) 在 x ? 0 连续.
12.【解】

f ? a) ? lim (
x ?a

f ( x) ? f (a) ( x 2 ? a 2 )? ( x) ? 0 ? lim x ?a x?a x?a

? lim( x ? a )? ( x) ? 2a? (a ) .
x?a

13.【解】 ? f ( x ) 为奇函数,? f (0) ? f (?0) ? ? f (0) ,? f (0) ? 0 ,

? lim
x ?0

f ( x) f ( x) ? f (0) ? lim ? f? , (0) x ?0 x x?0

? x ? 0为

f ( x) 的第一类可去间断点. x

14.【证】 (1)? f ( x ) 为偶函数,? f (? x) ? f ( x) , f (?u ) ? f (u ) ,

? f ? ? x) ? lim (

t ?? x

f (t ) ? f (? x) f (?u ) ? f ( x) t ? ?u lim u?x t ? (? x) ?u ? x
f (u ) ? f ( x) ? ? f ? x) , ( u?x

? ? lim
u?x

( ? f ? x) 为奇函数;
(2)? f ( x ) 为奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) , f (?u) ? ? f (u) ,

? f ? ? x) ? lim (
? lim
u?x

t ?? x

f (t ) ? f (? x) f (?u ) ? f ( x) t ? ?u lim u?x t ? (? x) ?u ? x

? f (u ) ? f ( x) f (u ) ? f ( x) ? lim ? f ? x) , ( u?x ?u ? x u?x

( ? f ? x) 为偶函数.
15.【解】 16.【解】 17. 略.

? (t0 ) ? ? ? t0 ) ? lim (

? (t0 ? ?t ) ? ? (t0 )

?t T (t ? ?t ) ? T (t ) v(t ) ? T ? t ) ? lim ( . ?t ?0 ?t
?t ?0

.

*题 2-2
5 2 x
x

1.【解】 (1) y ?? 3 ?

?

1 ; x2
x

(2) y?? 9x ? 5 ln 5 ? 7e ;
2

(3) y?? 2sec x ? sec x tan x ;
2

(4) y?? cos x ? sin x ? cos 2 x ;
2 2

(5) y ?? 4 x ln x ? x ?
3 4

1 ? 4 x 3 ln x ? x 3 ; x
x

(6) y?? 4e cos x ? 4e sin x ;
x

(7) y ?? (8) y ??

x ? (1/ x) ? ln x 1 ? ln x ? ; x2 x2

cos t (1 ? cos t ) ? (1 ? sin t )(? sin t ) 1 ? sin t ? cos t ; ? (1 ? cos t )2 (1 ? cos t )2

(9) y ? x3 ? 6x2 ?11x ? 6, y?? 3x2 ?12x ? 11 ; (10) y ?? log 2 x ? x ? (11) y ??

1 1 ? log 2 x ? ; x ln 2 ln 2

sin x 3 x
3 2

? 3 x cos x ? a x e x (1 ? ln a) ;

(12) y ? 1 ?

2 2 , y ?? ; x ?1 ( x ? 1) 2

(13) y ? 5 ?

9 ? 3x ?3( x 2 ? 1) ? 2 x(9 ? 3x) 3x 2 ? 18 x ? 3 ; , y?? ? x2 ? 1 ( x 2 ? 1)2 ( x 2 ? 1)2

(14) y??

?2csc x cot x(1 ? x 2 ) ? 2 x(2csc x) 2csc x[(1 ? x 2 ) cot x ? 2 x] ; ?? (1 ? x 2 )2 (1 ? x2 )2

(15) y?? 2 x ln x cos x ? x cos x ? x2 ln x sin x .

2.【解】 (1)

dy dy 3 ? 1 dy ? cos x ? sin x, ? |x ?? / 6 ? , |x ?? / 4 ? 2 ; dx dx 2 dx

(2)

d? 1 1 d? 2 ? sin ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? sin ? , ? |x?? / 4 ? (? ? 2) ; d? 2 2 d? 8
3 2x 3 ? , ? y (0) = ; 2 (5 ? x) 5 25
.

? (3) y ⅱ

(4) yⅱ ex ( x2 ? 3x ? 1) ? ex (2x ? 3) ? ex ( x2 ? x ? 2), ? y (0) = ?2 ? 3.【解】 (1) v(t ) ? s? t ) ? v0 ? gt ; ( (2)令 v(t ) ? 0 ,得 t ? v0 / g .

b b b2 ? 4ac 4.【解】令 y?? 2ax ? b ? 0 ,得 x ? ? ,? y (? ) = , 2a 2a 4a

? 抛物线上 (?

b 4ac ? b2 , ) 点具有水*切线 . 2a 4a

5.【解】? k切 ? y? ? (2cos x ? 2x) (0)

x ?0

? 2 ,?k法 ? ?1/ 2 ,

? 切线方程为 y ? 2 x ;法线方程为 y ? ? x / 2 .
6.【解】解 x ? 1/ x ? 0 得 x ? ?1 , ? y?? 1 ? 1/ x2 ,? k1,2 ? y? ?1) ? 2 , (

? (?1, 0) 的切线方程为 y = 2( x ? 1) , (1, 0) 的切线方程为 y = 2( x ? 1) .
7.【解】 (1) y?? 4sin(5 ? 4 x) ; (2) y?? ?15x2e?5 x ;
3

(3) y ??

?2 x 2 a ?x
2 2

?

?x a2 ? x2



(4) y?? 2 x sec2 x 2 ; (5) y?? 2sin x cos x ? sin 2 x ;

ex (6) y ?? ; 1 ? e2 x
(7) y??

?2 1 ? (1 ? 2 x)2
?1/ x 2 1 ? (1/ x) 2

?

?1 x ? x2
1



(8) y ?? ?

?

| x | x2 ?1



sec x tan x ? sec 2 x ? sec x ; (9) y ?? sec x ? tan x
(10) y ?? (11) y ?? (12) y ??

? csc x cot x ? (? csc2 x) ? csc x ; csc x ? cot x
2x ; 1 ? x2

2x ?1 . ( x ? x ? 1) ln a
2

x x ? 1 ?2 2 8.【解】 (1) y ?? ? e cos 3x ? 3e sin 3x ; 2

(2) y ? ln(1 ? x ) ? ln(1 ? x ), y ??

1 1 1 ?1 1 ? ? ? ? ; 1 ? x 2 x 1 ? x 2 x (1 ? x) x

(3) y ??

1 x 1 ? sec2 ? ? csc x ; tan( x / 2) 2 2

(4) y?? 2arcsin

x 1 1 2arcsin( x / 2) ; ? ? ? 2 1 ? ( x / 2)2 2 4 ? x2
?2 x 2 1? x
2

(5) y ?? 1 ? x ? x ?
2

?

1 1? x
2

? 2 1 ? x2 ;

(6) y ??

1 ; x ln x

(7) y?? n sin n?1 x cos x cos nx ? n sin n x sin nx ? n sin n?1 x cos(n ? 1) x ; (8) y?? earctan
x

?

1 1 earctan x ; ? ? 1 ? ( x )2 2 x 2(1 ? x) x
? ln x x 1 ? ln 2 x


(9) y??

2ln x ? (1/ x) 2 1 ? ln 2 x

(10) y?? 10x tan 2 x ln10(tan 2 x ? 2 x sec2 2 x) ; (11) y ??

1 1? ( 1? x 2 ) 1? x

?

1 ?(1 ? x) ? (1 ? x) ?1 ; ? ? 2 (1 ? x) 1? x (1 ? x) 2 x(1 ? x) 2 1? x

(12) y ? 2 x ?

1 4e4 x 2 . ln(e4 x ? 1), y?? 2 ? ? 4x 4x 2 2(e ? 1) e ? 1
3 4

9.【解】 (1) yⅱ 4x f ( x ) ; ? (2) yⅱ f (sin x) ? 2sin x cos x ? f (cos x) ? 2cos x(? sin x) ?
2 2

? [ f ⅱ 2 x) ? f (cos2 x)]sin 2 x ; (sin
(3) yⅱ f (arcsin ) ? ?

1 x

1 1 ? (1/ x)2

? (?

1 f? [arcsin(1/ x)] . )?? 2 x | x | x2 ?1

10.【解】 ? f (1 ? x) ? xe

?x

? [1 ? (1 ? x)]e (1?x)?1, ? f ( x) ? (1 ? x) e x?1 ,

? f ? x) ? ?ex?1 ? (1 ? x)e x?1 ? ? xe x?1 . (
11.【解】

f ⅱ ? 3) ? 5x4 ; f ( x) ? 5( x ? 3)4 . (x

12.【解】 ? f (1/ x) ?

x 1 1 ?1 ? , ? f ( x) ? , ? f ? x) ? . ( 1 ? x 1/ x ? 1 x ?1 ( x ? 1) 2

13.【证】 ? ⅱ ) ? a (x

f 2 ( x)

ln a ? 2 f ( x) ? f ( x) ? 2? ( x) f ( x) ln a ?

1 ? 2? ( x) . f ( x) ln a

14.【证】? F ⅱ ) ? 2 xf ( x2 ?1) ? 2 xf ⅱ? x2 ) ? 2 x[ f ( x2 ?1) ? f (1 ? x2 )] , (x (1

? F ⅱ ? 2[ f (0) ? f ⅱ ? 0, F (?1) ? ?2[ f ⅱ ? f (0)] ? 0 , (1) (0)] (0)
? F ⅱ ? F (?1) . (1)
15.【解】 x ? 0 时, f ? x) ? 2sec2 x , x ? 0 时, f ? x) ? e x ; ( (

(0) ? f ? ? ? lim ?
x ?0

f ( x) ? f (0) 2 tan x ? 1 ? 1 ? lim ?2, ? x ?0 x?0 x

f ? ? ? lim (0) ?
x ?0

f ( x) ? f (0) ex ?1 ? lim ? 1, x ? 0? x?0 x

(0) ? f? ⅱ ? f? (0) ,? f ? ? 不? ; (0)
?2sec 2 x, x ? 0 ? ? f ? x) ? ?不?, x ? 0 ( . ?e x , x ? 0 ?
16.略.

*题 2-3
1.【解】 (1) AC (100) ?

C (100) ? 880 ; 100

(2) C? (100) ? (900 ?1.6x) |x?100 ? 740 ; (3)?C(101) ? C(100) ? 739.2, C(100) ? C(99) ? 740.8 ,

?C (101) ? C (100) ? C ? (100) ? C (100) ? C (99) .
(x 2.【解】 (1)? Y ⅱ ) ? 50000 , ?Y (100) ? 5 .(2)略. x2

( 3.【解】 (1) C ? x) ? 450 ? 0.04 x ; ( (2) L( x) ? 490 x ? C( x) ? ?0.02 x ? 40 x ? 2000 , L? x) ? ?0.04 x ? 40 ;
2

( (3)令 L? x) ? ?0.04 x ? 40 ? 0 ,得 x ? 1000 .
4.【解】?

EQ P ?100 P ?P , ? Q? P) ? ( ? EP Q( P) 400 ? 100 P 4 ? P

1 ?? (1) ? ? , 3
5.【解】

? (2) ? ?1,

? (3) ? ?3 .

EQ P P ? Q? P) ? ?0.66 ? (?0.66aP ?1.66 ) ? ?0.6 . ( EP Q( P) aP

6.【解】销售量可*似增加 15% ? 20% . 7.【解】 (1) V (r ) ?

4? r 3 , 3

V ? r ) ? 4? r 2 (cm3 / cm) ; (

(2) ?V ? V (11) ? V (10) ? V ? (10) ? 400? (cm3 ) . 8.【解】 (1) v1 ?

s1 (2) ? s1 (0) s (3) ? s2 (0) ? ?1(m / s ), v 2 ? 2 ? ?3(m / s ) ; 2?0 3?0

(2)?v1 (t ) ? s1 ⅱ) ? 2t ? 3, v2 (t ) ? s2 (t ) ? ?3t 2 ? 6t ? 3 (t

?v1 (0) ? ?3(m / s), v1 (2) ? 1(m / s) , v2 (0) ? ?3(m / s), v2 (3) ? ?12(m / s) ;
(3)令 v1 (t ) ? 0 ,得 t ? 1.5(s) , t ? 1.5 时 v1 (t ) ? 0 , t ? 1.5 时 v1 (t ) ? 0 ,

? s1 在 t ? 1.5s 方向改变;

?v2 (t ) ? ?3(t ?1)2 ? 0 ,? s2 方向未变.
9.【解】(1)

dh t ? 10 ? ; dt 10 dh dh dh dh (10) |?| |?| (0) | ,? t ? 0 时水位下降最快, (0) ? ?1 , (2)? | dt dt dt dt dh t ? 10 时水位下降最慢, (10) ? 0 ; (3)略. dt

*题 2-4
1.【解】 (1) y⒉ 6x ? 12x ? 6x , y ? 30x ? 36x ? 12x ; ?
5 3 2 4 2

(2) y⒉ 4e ?

4 x ?3

, y ? 16e4 x?3 ;

(3) y⒉ cos x ? x sin x, y ? ? sin x ? sin x ? x cos x ? ?2sin x ? x cos x ; ? (4) y?? e?t cos t ? e?t sin t ,

y? ? ?e?t cos t ? e?t sin t ? e?t sin t ? e?t cos t ? ?2e?t cos t ;
(5) y ??

?2 x 2 a2 ? x2

?

?x a2 ? x2



? a2 ? x2 ? x ? y? ? a2 ? x2

?x a2 ? x2 ? ? a2 ( a 2 ? x 2 )3


(6) y⒉ ?

?2 x 2x 2( x 2 ? 1) ? 2 x ? 2 x 2( x 2 ? 1) ; ? 2 , y ? ?? 2 1 ? x2 x ?1 ( x 2 ? 1)2 ( x ? 1)2

(7) y⒉ sec2 x, y ? 2sec x sec x tan x ? 2sec2 x tan x ; ? (8) y⒉ ?

?2 x ?2( x 2 ? 1)2 ? 2 x ? 2( x 2 ? 1) ? 2 x 6 x 2 ? 2 ; , y ? ? 2 ( x 2 ? 1)2 ( x 2 ? 1)4 ( x ? 1)3
2x ; 1 ? x2

? (9) y ⒉ 2 x arctan x ? 1, y ? 2 arctan x ?

? (10) y ⒉

xe x ? e x ( x ? 1)e x xe x ? x 2 ? ( x ? 1)e x ? 2 x ( x 2 ? 2 x ? 2)e x ? , y ? ? ; x2 x2 x4 x2
2 2 2 2 2 2

(11) y⒉ e x ? 2 x 2e x , y ? 2 xe x ? 4 xe x ? 4 x3e x ? (4 x3 ? 6 x)e x ; ? (12) y ??

1 x ? 1 ? x2

(1 ?

2x 2 1 ? x2

)?

1 1 ? x2



y? ? ?

1 2x x . ? ?? 2 2 1? x 2 1? x (1 ? x2 )3
3

2.【解】 f ?( x) ? 6( x ? 10)5 , f ?( x) ? 30( x ?10)4 , f ??( x) ? 120( x ? 10) ,

? f ??(2) ? 10 ?124 ? 207360 .
ds d 2s ? A? cos ?t , ? a(t ) ? 2 ? ? A? 2 sin ?t , 3.【解】? dt dt ? d 2s ? ? 2 s ? ? A? 2 sin ?t ? A? 2 sin ?t ? 0 . 2 dt

4.【证】? y⒉ C1?e? x ? C2?e?? x , ? y ? C1? 2e? x ? C2? 2e?? x ? ? 2 y , ?

? y? ? ? 2 y ? 0 .
5.【解】? g?( x) 连续,? g ( x) 连续,? lim g ( x) ? g (a ), lim g ?( x) ? g ?(a ) ,
x ?a x ?a

? f ?( x) ? 2( x ? a) g ( x) ? ( x ? a)2 g?( x) ,
f ?( x) ? f ?(a) 2( x ? a) g ( x) ? ( x ? a) 2 g ?( x) ? 0 ? f ?(a) ? lim ? lim x ?a x ?a x?a x?a
? lim[2 g ( x) ? ( x ? a ) g ?( x)] ? 2 g (a ) .
x?a

6.【解】 (1)

dy ? 3x 2 f ?( x3 ), dx

d2y ? 6 xf ?( x3 ) ? 9 x 4 f ?( x 3 ) ; dx 2

dy f ?( x) (2) ? , dx f ( x)

d 2 y f ?( x) f ( x) ? f ?? ( x) . ? dx 2 f 2 ( x)

7.【解】 (1) y( n) ? ( xn )( n) ? a1 ( xn?1 )( n) ? a2 ( xn?2 )( n) ? ?? an?1 ( xn )( n) ? (an )( n)

(2) y

(n)

? n !? 0 ? 0 ? ? ? 0 ? 0 ? n ! ; 1 ? cos 2 x ( n ) 1 ? (sin 2 x)( n ) ? ( ) ? ? (cos 2 x)( n ) 2 2 1 n? n? ? ? ? 2n cos(2 x ? ) ? ?2n ?1 cos(2 x ? ) ; 2 2 2
(n)

(3) y? ? ln x ? 1, y

? (ln x ? 1)( n?1) ?

(?1)n ?2 (n ? 2)! (?1)n (n ? 2)! ? , x n?1 x n?1

y?? ln x ? 1, ? y

(n)

?ln x ? 1, n ? 1 ? ; ? ? (?1)n (n ? 2)! ,n ?1 ? x n?1 ?
(?1)n ?1 (n ? 1)! (?1) n ?2 (n ? 2)! ?n xn x n ?1

0 1 (或 y( n) ? Cn x(ln x)( n) ? Cn x?(ln x)( n?1) ? x ?

?

(?1)n (n ? 2)! ) x n ?1

(4) y ?

1 ( x ? 2) ? ( x ? 3) 1 1 ? ? ? , x ? 5x ? 6 ( x ? 2)( x ? 3) x ?3 x ?2
2

? y(n) ? (

1 (n) 1 (n) 1 1 ) ?( ) ? (?1)n n ![ ? ]. n ?1 x ?3 x?2 ( x ? 3) ( x ? 2)n?1

8.【解】 (1) y? ? e cos x ? e sin x ?
x x

y?? ? 2 2e x cos( x ?
(2)略;

3? ), y (4) ? 4e x cos( x ? ? ) ? ?4e x cos x ; 4

2e x cos( x ? ), y? ? 2e x cos( x ? ) , 4 2

?

?

0 1 2 (3) y(50) ? C50 x2 (sin 2x)(50) ? C50 ( x2 )?(sin 2x)(49) ? C50 ( x2 )?(sin 2 x)(48)

? 250 x 2 sin(2 x ?

50? 49? 50 ? 49 49 48? ) ? 50 ? 250 x sin(2 x ? )? ? 2 x sin(2 x ? ), 2 2 2 2

? 249 (1225x ? x2 )sin 2x ? 50 ? 250 x cos 2x ;
(4) y ?

x ? ( x ? 1) 1 1 ? ? , x( x ? 1) x ?1 x 1 (4) 1 (4) 1 1 24 24 ) ? ( ) ? (?1)4 4![ ? ]? ? . 5 5 5 x ?1 x ( x ? 3) ( x ? 2) ( x ? 3) ( x ? 2)5

? y (4) ? (

*题 2-5
1.【解】 (1) y ? xy? ? ex? y (1 ? y?), ( x ? ex? y ) y? ? ex? y ? y ,

? y? ?

e x ? y ? y xy ? y ( x ? 1) y (? ? ); x ? e x? y x ? xy x(1 ? y )
2

(2) y ? xy? ? ?? yy? cos(? y ) ? 0, ? y? ?

y ; ?? y cos(? y 2 ) ? x

(3) e ( y ? xy?) ? 3 y y? ? ? ? ?? ? y? ?
xy 2

5 ? ye xy ; xe xy ? 3 y 2

(4) y? ? ?e ? xe y?, ? y? ?
y y

?e y ; xe y ? 1 ? y sin( xy ) ; 1 ? x sin( xy )

(5) ?( y ? xy?)sin( xy ) ? ?? ? y? ? ?

(6)

1 xy? ? y 1 2 x ? 2 yy? ? ? ? 2 , 2 1 ? ( y / x) x2 2 x ? y2 ( x ? y ) y? ? x ? y , ? y? ? x? y . x? y

1 2 ?1 2 ?1 3 3 2.【解】 x ? y y? ? ? ,? y? ? ?? y / x ? 3 ,? k切 ? y? | 2 2 ? ?1 ,? k法 ? 1 , ( a, a ) 3 3 4 4

? 切线方程为 y ?

2 2 2 a ? ?( x ? a) ,即 x ? y ? a?0; 4 4 2 2 2 a ? x? a ,即 x ? y ? 0 . 4 4

法线方程为 y ?

3.【解】 (1) 2b2 x ? 2a 2 yy? ? 0, ? y? ? ?

b2 x , a2 y

? y? ?

b 2 xy? ? y b 2 ? ? 2? a2 y2 a

x(?

b2 x )? y b2 b2 x 2 ? a 2 y 2 b4 a2 y ?? 4? ?? 2 3 ; y2 a y3 a y

(2) y? cos y ?

1 ? y? ? , ? y? ? , x? y ? x ? y ? cos y ? 1

? y? ? ?

?1 ? y?? cos y ? ? x ? y ??? sin y ? y? ? x ? y ? cos2 y ? ? x ? y ? sin y ; ?? ? ? [? x ? y ? cos y ? 1]2 [? x ? y ? cos y ? 1]3
y y

(3) y? ? e ? xe y?? ? y? ?

ey , 1 ? xe y

? y? ?

e y y?(1 ? xe y ) ? e y ??e y ? xe y y?? e2 y (2 ? xe y ) e2 y (3 ? y) ??? (? ); (1 ? xe y )2 (1 ? xe y )3 (2 ? y)3

(4)? y ? tan( x ? y), ? y? ? (1 ? y?)sec2 ( x ? y ? , (题印错了)

? y? ?

sec2 ( x ? y ? 1 ? tan 2 ( x ? y ? 1 ? y 2 1 ? ? ? ?1 ? 2 , 2 2 2 1 ? sec ( x ? y ? ? tan ( x ? y ? ?y y 2 y? 2 1 ? y 2 2(1 ? y 2 ) ? 3? ?? (? ?2cot 3 ( x ? y ? csc2 ( x ? y ?? . y3 y ? y 2 y5
2

? y? ?

4.【解】 (1)? ln y ? tan x ln(1 ? x ), ?

y? 2 x tan x ? sec2 x ln(1 ? x 2 ) ? , y 1 ? x2

2 x tan x ]; 1 ? x2 1 1 1 (2)? ln y ? ln( x ? 3) ? ln(3 x ? 2) ? ln( x ? 2) , 5 3 2 ? y? ? (1 ? x 2 ) tan x [sec 2 x ln(1 ? x 2 ) ?

?

y? 1 1 1 , ? ? ? y 5( x ? 3) 3x ? 2 2( x ? 2)
5

? y? ?

x ? 3 3 3x ? 2 1 1 1 [ ? ? ]; 5( x ? 3) 3x ? 2 2( x ? 2) x?2
1 1 y? 1 2x , ln( x ? 5) ? ln( x 2 ? 2), ? ? ? 5 25 y 5( x ? 5) 25( x 2 ? 2)

(3)? ln y ?

? y? ? 5

x ?5
5

1 2x ? ]; 2 x 2 ? 2 5( x ? 5) 25( x ? 2) [
x y? 1 x x 2sec2 2 x , ln tan 2 x, ? ? ? csc2 ln tan 2 x ? cot ? 2 y 2 2 2 tan 2 x
cot x 2

(4)? ln y ? cot

? y? ? (tan 2 x)

1 x x 2sec2 2 x [? csc2 ln tan 2 x ? cot ? ]. 2 2 2 tan 2 x

ey 5.【解】? y? ? e ? xe y? ? ?? ? y? ? ; ? x ? 0 时, y ? 1 , 1 ? xe y
y y

? y?(0) ? y? |(0,1) ? e, ?k切 ? e, ?k法 ? ?1/ e ,
? 切线方程为 y ? 1 ? ex ,即 y ? ex ? 1 ;
法线方程为 y ? 1 ? ?

x x ,即 y ? ? ? 1 . e e

6.【解】? e y? ? y ? xy? ? e ? ?? ? y? ?
y x

ex ? y ; ey ? x

? x ? 0 时, y ? 0 ,? y?(0) ? y? |(0,0) ? 1 ,

y? ?

(e x ? y?)(e y ? x) ? (e x ? y)(e y y? ? 1) (*) , (e y ? x)2

将 x ? 0, y ? 0, y?(0) ? 1 代人 (*) 得 y?(0) ? ?2 .

7.【解】?

dy yt ? 1/(1 ? t 2 ) 1 dy 1 ? ? ? ? ? k切 ? |t ?1 ? , ? k法 ? ?2 , 2 dx xt ? 2t /(1 ? t ) 2t dx 2

? 切线方程为 y ?
法线方程为 y ?

?

?

4

?

1 ( x ? ln 2) , 2

4

? ?2( x ? ln 2) .

8.【解】 (1)

dy yt ? 3bt 2 3bt ; ? ? ? dx xt ? 2at 2a dy yt ? et cos t ? et sin t cos t ? sin t ; ? ? ? dx xt ? et sin t ? et cos t sin t ? cos t
dy yt ? 2sin t cos t ? ? ? ?1 . dx xt ? 2cos t (? sin t )

(2)

(3)

9.【解】 (1)

dy yt ? ?1 d 2 y d dy d ?1 dx 1 1 ? ? , ? ( ) ? ( )/ ? 2 /t ? 3 ; 2 dx xt ? t dx dx dx dt t dt t t

(2)

dy yt ? b cos t b ? ? ? ? cot t , dx xt ? ?a sin t a
d 2 y d dy d b dx b b ? ( ) ? (? cot t ) / ? csc2 t /(?a sin t ) ? ? 2 csc3 t ; 2 dx dx dx dt a dt a a

(3)

dy yt ? 2et 2 ? ? ? ? e2t , ?t dx xt ? ?3e 3
d 2 y d dy d 2 dx 4 4 ? ( ) ? (? e 2t ) / ? ? e2t /(?3e?t ) ? e3t ; 2 dx dx dx dt 3 dt 3 9

(4)

dy yt ? f ?(t ) ? tf ?(t ) ? f ?(t ) ? ? ?t , dx xt ? f ?(t )

d 2 y d dy dt dx 1 . ? ( )? ? 1/ ? 2 dx dx dx dx dt f ?(t )
10.【解】 (1)

dy yt ? 1 ? 3t 2 3 1 ?1 ? ? ? t? t , dx xt ? ?2t 2 2

3 1 3 1 d 2 y d dy d 3 1 dx ? ( ? t ?2 ) /(?2t ) ? ? t ?1 ? t ?3 , ? ( ) ? ( t ? t ?1 ) / 2 2 2 4 4 dx dx dx dt 2 2 dt 3 3 3 d3y d d2y d 3 1 dx ? ( t ?2 ? t ?4 ) /(?2t ) ? ? (t ?3 ? t ?5 ) ; ? ( 2 ) ? (? t ?1 ? t ?3 ) / 3 4 4 8 dx dx dx dt 4 4 dt
(2)

1 dt 1 dx t ? t ?1 dy yt ? 1 ? 1/(1 ? t 2 ) t d 2 y d dy ? / ? , ? ? ? , 2 ? ( )? dx dx 2 dx 2 dt 4 dx xt ? 2t /(1 ? t 2 ) 2 dx d3y d d2y d t ? t ?1 dx 1 ? t ?2 2t t 4 ?1 ? ( 2)? ( )/ ? / ? 3 . dx3 dx dx dt 4 dt 4 1? t2 8t

11-13.略.

*题 2-6
1.【解】 dy |x?2 ? 3x2 |x?2 ??x ? 12?x , (1) ?y ? 33 ? 23 ? 19, dy ? 12 ; (2) ?y ? 2.13 ? 23 ? 1.261, dy ? 1.2 ; (3) ?y ? 2.013 ? 23 ? 0.120601, dy ? 0.12 . 2.【解】(1) d ( x ? C ) ? 7 xdx ;
2

7 2

(2) d (?

cos ? x

?

? C ) ? sin ? xdx ;

(3) d (ln | 3 ? x | ?C ) ? (5) d (2 x ? C ) ?

1 1 dx ; (4) d (? e?2 x ? C ) ? e ?2 x dx ; 3? x 2
(6) d ( tan 2 x ? C ) ? sec 2 xdx .
2

1 dx , x

1 2

3.【解】 (1) dy ? ?

?1 1 ? ? ? dx ; x? ?x

(2) dy ? d

ln(1 ? x3 ) d (1 ? x3 ) ?3x 2 ? ? dx ; 2 2(1 ? x3 ) 2(1 ? x3 )

(3) dy ? sin 2 xdx ? xd sin 2 x ? sin 2 xdx ? x cos 2 xd (2 x) ? (sin 2 x ? 2 x cos 2 x)dx ; (4) dy ? e dx ? x de
2x 2 2 x ?x 2x

? 2xe2 x dx ? 2x2e2 x dx ? 2x( x ? 1)e2 x dx ;
?x x ?x x ?x 2x

(5) dy ? 2(e ? e )d (e ? e ) ? 2(e ? e )(e ? e )dx ? 2(e
x

? e?2 x )dx ;
dx ;

(6) dy ?

d (x ? x ) 2 x? x

?

dx ? d x 2 x? x

?

1 ? 1/(2 x ) 2 x? x

dx ?

2 x ?1 4 x x? x

4x 2 dx d( ? 1) ? 2 2x (1 ? x 2 )2 1? x (7) dy ? ? ?? dx ; 2 2 2 2 1 ? x4 ? 1? x ? ? 1? x ? 1? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? 1? x ? ? 1? x ?
d (x ? x ? a )
2 2

(1 ? ?

(8) dy ?

x? x ?a
2

2

)dx 2 x2 ? a2 ? x ? x2 ? a2

2x

1 x ? a2
2

dx .

4.【解】? 2dy ? dx ? (dx ? dy ) ln( x ? y ) ? ( x ? y ) ?

dx ? dy , x? y

?[3 ? ln( x ? y)]dy ? [2 ? ln( x ? y)]dx ,

? dy ?

2 ? ln( x ? y ) dx . 3 ? ln( x ? y )

5.【解】? ? sin( xy)d ( xy) ? x2dy 2 ? y 2 dx2 ,

?? sin( xy)( ydx ? xdy) ? 2x2 ydy ? 2xy2dx , ??[ x sin( xy) ? 2x2 y]dy ? [ y sin( xy) ? 2xy 2 ]dx ,
? dy ? ? y sin( xy) ? 2 xy 2 y dx ? ? dx . 2 x sin( xy) ? 2 x y x

6.【解】 (1) sin x ? f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ? sin 0 ? x cos 0 ? x ; (2) ex ? f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ? e0 ? xe0 ? x ; (3) n 1 ? x ? f ( x) ? f (1) ? f ?(1) x ? n 1 ?

1 1/ n ?1 x ?1 ? x ? 1? . n n

7.【解】 (1) L( x) ? f (7) ? f ?(7)( x ? 7) ? 3 1 ? 7 ?

1 3 3 (1 ? 7)2

( x ? 7) ?

1 17 x? , 12 12

f (6.5) ? L(6.5) ?

47 ; 24

(2) L( x) ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1) ?

1 1 1 1 ? ( x ? 1) ? x ? , 2 1 ? 1 (1 ? 1) 4 4

f (1.1) ? L(1.1) ?

21 . 40

8.【解】 L( x) ? f (0) ? f ?(0) x ? ( 1 ? 0 ? sin 0) ? (

1 3 ? cos 0) x ? x ? 1 , 2 2 1? 0

L1 ( x) ? f1 (0) ? f1 ?(0) x ? 1 ? 0 ?

1 1 x ? x ?1, 2 2 1? 0

L2 ( x) ? f2 (0) ? f 2 ?(0) x ? sin 0 ? x cos0 ? x , L( x) ? L1 ( x) ? L2 ( x) .
9.【解】 (1) 100 1.002 ? f (1) ? f ?(1) ?x ? 100 1 ?

1 1/100?1 ?1 ? 0.002 ? 1.00002 ; 100

(2) cos 29 ? f ( ) ? f ?( ) ?x ? cos
?

?

?

?

6

6

? (? sin ) ? (? ) ? 0.8748 ; 6 6 180

?

?

(3) arcsin 0.5002 ? f (0.5) ? f ?(0.5)?x ? arcsin 0.5 ? 10-14.略.

0.0002 1 ? 0.52

? 0.5238 .




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