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Logistic曲线拟合方法研究

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Lgt o ii sc曲线拟合方法研究 
文章编号 :0 2 16 (0 2 0  0 4  0  10   5 6 2 0 ) 1 0 1 6

4 1  

L gsi o i c曲线 拟 合 方法 研 究  t
殷 祚 云 
f 东省 林 业 科 学 研 究 院 , 东 广 州 广 广 502) 15 0 



要 :o ii 模型具有广泛的 妻用性:本文推 导了用三点法估计该模型 中参数 K 值的会 式 , Lgt sc 并 

提 出 了估 计 K 值 的 新方 法 一 四 点 法 和 拐 点 法  用 3种 方 法求 出 K 值 后 , 再用 线性 化 回 归 获得 另 外 

两个参数 ar应用实例矸 究表 明: 方击都 可得 到较 高拟舍 精度 , 中以四点 击最优  而且 ,   、, 3种 其 以 这些方法得到的参数估计 值作 为初姑值进行非线性回 归, 易获得 3个参数的最忧估 计 
关键 词 :oi i L gt sc曲线 ; 点 击 ; 点 法 ; 点 法 ; 归 三 四 拐 曰  

中图分类号 : 1  O22

文献标识 码 :   A

在生 物学特 别是 在生态 学 中 , ii分布 是个 具 有较 大 实 用价 值 的连 续 型分 布 , 初起  I sc  ̄g t 最

源于生物群体的 Lg t 增生曲线  由于 L g t 累计分布 曲线呈 s形 , o ii sc oii sc 因此推而广之 , 在经 
济学 、 治学 、 口统计 学 、 类肿瘤 增生 、 政 人 人 化学 、 物 种群 动 态 、 植 昆虫 生 态 、 木 生 长 与直 径 结  林 构或病 情 指数预测 等诸 方 面都有广 泛 的应 用 l 1  
1 研 究 方 法  、

L g t 曲线方程的微分形式为 : o ii sc  
d N

=r (   ) N 1一  

() 1 

积分 形式 为 :  

N  南

 

( 2 ’  

式( )( ) N为生物量 (i as、 1 、2 中, b m s 生长量 (rw h 或其它数量指标 ( o ) go t) 如发病数等)t ; 为时阃   ( 或温度等) 序列; 是常数, r 称为内禀 自然增 长率或瞬时增长率( s n nos rw hrt ;   i t t eu  o t  e K na a g a) 也是常数 , 称为环境 负载力或容纳量(a y gcpc y ; 为 自然对数底 ; 为积分 常数 。式  cr i   a t)e rn a i a () 2 即为,形 L gsc S o ii累计分布曲线方程。 t   1 1 K值估计方法  .   1 11 三点法  .. K值一般用三点法估计 , 公式为 

—  
程如下 :  

K : 

N N …  +  t一  N 掣  t t 3

一 ( 3   J

其中( , 1 、t,2 、t N t N )( N ) ( , 0分别表示实测数据序列的始点、 l 2 s 中点 、 终点【 1   。此公式推导过  一
首先 将式 () 2 转换 为 以下形 式 :  
?

收稿 日期 :0 1 1 3 20 —0 —0  

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4  2

数理统计与管理 
一I m -一 _

2卷 l

1 期 20 年 1   02 月
【1 (  4 

一  一  n r :“   t  

选 取实测 数 据序列 的始 点 (1Nl ‘ t , 2 、  , 】中点   N ) ̄A (3N  , t, )分别代 人上 式 , 得一组 方程 :  

j  一 : “一 1 。 。      
K 
~  

(a  4  J

N,  

■   n—H 2
= “  ,  

(b  4)
( c  4)

且 因有 2z 1 3故有 2×(b =(a 十(c , t=t+t, 4 ) 4) 4 )消去 a 即得一 元方程 :    
z  

当 K≠0时 , 上述 方程 即可求 得式 ( )  解 3。 112 四点 法   .

在三点法 的基础上 , 提出四点法即用 实测序列 中的 4 个数据点来估计 K值。与 上 同理    可推导 出用四点法估计 K值 的公式为:  
K : — I 4 N2 N N (
— — — —

+ N3 - N  3 N I + N4      2 ( ) N  ) N  4一 Ⅳ 2 N  N  ,2+t 一 f + t   。 3: ‘  4 1 】   2   
— —



() 5 

其中( , x、t, ) t N ) (   分别为实测数据序列的始点、 1 4 终点 ,t,1 、t, 3则为中间两点  ( - )( N ) 2" 2 3 113 拐点法  ..
对 式( ) 函数  =r 1   ) 1即 N( 一 的两边 求 异 , 可 得式 ( ) 函数 N= 则 2即  
数:   :r   t (    一 1一 , )   【  () 6

的 二 阶导 

令 0 r o ,: 萼  :,  ≠时得N   当 =
这便是 函数式() 1的驻点或 函数式( ) 2 的拐点。也就是说 , N= / ,oii方程式( )   当 K 2时 Lgsc t 2的 S 形曲线具有最大的斜率, 或者说 S 曲线在此处 由凹变 凸。因此, 形 可以通过找 出实测 曲线  ( 即用实测数据序列在直角坐标系中所绘 的*滑曲线 ) 上斜率最大或由凹变 凸的点来确定拐  点, 由此估计 K值 的公式为 :  
K =2 N  () 7 

式 () 、田为 实测 曲线上 斜率最 大 的点的 N值 ( 7 中,】 令此 时 t  

)  。

然而, 要找出实测曲线上斜率最大( 由凹变凸) 或 的点 (lN ) t,   实际上是较 困难的。现在  【 】 讨论如何通过实测数据来确定 、 。如 d /t 0且 t 】 田 N ds , 的增量 fxf  ̄ /t 很小 , 则有 
d / t≈ △ N / x   N d /t

这就是说在实测数据序列中, /t很小时 , 当 xl 可由AN/ 来估 计实测曲线 上各点 的斜率。 At   比较各点处( 除第一个点外 )J /X,  ̄AN /t 则最大△N △t / 所对应的 N值即为 N ( 1 ,   表 ) 即有对 
应 关 系  w { ( —Nx/ t   ) (2一t)( 1 ,N3一 ) (3一t)… ,   /, 2 , ( ~ 一) ( 一t ) 一 ( , )     1/     ; t   

再根据式 ( ) 7 估计 K值 

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Lg t o ii sc曲线拟合方法研究 

4  3

12 曲线拟 合    12 1 线性 化 回归  ..

Lg t 模型是一类 内线性模型 , o ii sc 或称为可化为线性模型 的回归 问题[ 。先将 L g t   ] o ii sc
模 型 式 () 2 化为线 性 函数 , 即为式 ( ) 4 
i K —N 

n— J一  。 v   令 y-   —   ( K值 可用上述 3种方 法估计 而得 )即可变换 为如下 线性 式 : ,  
= 口 一 r  t

然后用最小二乘法求出参数 ar , 的估计值 , 最后再经过适 当的变换 , 得到所求的回归曲线。   122 非线 性 回归  .. 非线性回归过程可以获得 L g t 模 型参 数的最小二乘无偏性估计 , oii sc 所采用的算法 为  Lvne — rurt eebr Maqa 迭代法  运用此 法进行迭代时 , g d 必须先给出模 型中各参数的初始 值。   对于 L g t 模型 , oii sc 参数 K的初始值可用三点法 、 四点法或拐点法取得 , 参数 a1 , 则可用线性  7 化回归的估计值作为初始值 , 如此可以提高选代 的速度。   回归方程拟合精度的高低可用相关指数( 或称决定系数 )2 R 的大小来判定[ 。    
2 结 果分析  、 2 1 实例 1 .  

本例引用温度对蓟马产卵数效应的实验数据[ 表 2 。  ( )   表2   不同温度下蓟马*均 日产卵数 

第 12 、 到数据 自 杨纪珂 , 齐翔林 (9 5  18) 随着温度的升高 , 单位温度增量的蓟马* 均 日产卵数增量  ̄N  ̄t x / x 呈钟形对称 曲线变化  ( 2, 表 )这与函数式( ) 1 当自变量为 N时呈抛物线是一致的, 也与 Lg t 分布密度 (P 曲线  o ii sc e其

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2卷 1

1 期

20 02年 1   月

呈S 形的分布函数 的一阶导数 ) 呈钟形对称 曲线l 相符合。从表 2中可看 出, 3   温度为 1℃ 、 6   2 ℃时的&N/ 最大且两者很接* 、 0 At 又与其它&N At / 大小相差很大 , 而且 由于l l At 并非足  够小 , 因此, 可以判定实测曲线的拐点在点(648 ) 2 ,.9之间。如简单地取其中稍大  1 ,.o 和(0 82 )
的△N/ =08 2对应 的 N=82 △t .7 .9的 2倍来估计 K, 很 可能导致 K值 估计 过 大 , 时不 妨  则 这

取此两点 N值的算术或几何*均数作为拐点处 N值即 N  的估计。因 Lg t 模 型为非线  oi i sc

性, 故采用几何*均数更合适 , () K= ×J 70 82 =1 .12  据式 7有  2 a 8 X .9 266 。
蓟马温度效应的不同 K值估计方法的线性 、 非线性回归结果如表 3  。 表3   不同回归方法的蓟马温度效应的 Lg t 曲线拟台结果  o ii sc

三点法取 t 0 1 、22 t 2 "I N=88 =1 、62 1 (= 2 N, C . 从实测曲线上描出[ ) 四点法取 t 1 、 、 。 ; ] - 01   3

2 、3 。 02"   C
2 2 实例 2    

本例引用大豆( 小* 1 叶面积系数增长动态的实验资料  ( 4 。 号) ]表 )   表 4 大豆叶面积系数增长动态 

at ) 表示从 6月 1日开始的经历天数 .) l2 b第   列数据 自袁志发 , 刘光祖 , 肖俊璋 (94  18 ) 与上例一样 , 从表 4中也可看 出, 位时间增量 的叶面积系数增量也呈钟形对称曲线变  单 化, 拐点大致在△N △t / 最大的两点 (0 24 和(0 46 之 间, 4 , .) 5 , .) 用此两点处 N值 的几何*均 

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L g t 曲线拟合方法研究  oii sc 数估计拐点处 N值即 N ,   则据式( ) : 2   7 有 K= × =665 。 .43  大豆叶面积系数增长动态的不同 K值估计方法的线性 、 非线性回归结果如表 5  。 襄 5 不同回归方法的大豆叶面积系数增长动态的 L g t 曲线拟合结果    o ii sc

三 点法取 t 04 、0 ; =1 、0 7 d 四点法取 t 0 4 、0 8d  =1 、05 、0 。

从以上两例中可知 , 不同 K值估计方法的线性 、 非线性 回归 的参数估计 量和统计量 的大  小均具有相同的趋势 :   () 3 K值估计方法( 1以 种 然后通过线性化 回归求另两个参数 , 同) 下 获得 的参数 K、、  ar 估计量为初始值的非线性 回归结果及统计量( 决定系数) 都是一致 的, 但以拐点法的迭代次数  最多 , 这是由于两实例中自变量增量 l l △t都较大从而导致 K值估计过大之故 ;   ( ) 种 K值估计方法所获得的参数 K ar 23 、、 估计量与非线性回归结果的接*程度大小顺  序为 : 四点法 >三点法 >拐点法, 因此估计 K值以四点法最优 ;   () 3 各种拟合方法决定系数 R 的大小顺序为:   非线性回归>四点法>三点法>拐点法 , 这  表明非线性回归的拟合精度最高, 四点法次之 , 三点法 、 拐点法又次之。尽管如此 , 四者的决定  系数都较大 ( 实例 1 均在 0 9 .7以上 , 实例 2 均在 0 9 .3以上) 因而 4种拟合方法所获得 的各  ,

L g t 回归方程都与相应的实测数据拟合得很好。 oi i sc  
3 讨 论  、

() 1在估计 K值 时, 四点法和拐点法要求至少需要 4 个实渊数据点, 三点法要求至少需要 
3个 实渊数 据点 。  

() 2 在估计 K值 时, 四点法比三点法多考虑 1 个点 , 因而将更接*实渊数据。四点法适用  于实渊数数据序列数为偶数或奇数的情况 , 三点法则大多适用于奇数的情况 , 但三点法较为简 
便。三点法、 四点法主要适用于数据序列中的 自变量( 或至少始点、 中点和终点) 成等差数列  ( 或*似等差数列) 的情况 , 当然个别点也可通过绘制实测曲线描出_ , 2 但难以避免偶然误差 ;   J   而拐点法则无此限制 , 只是要求实测数据序列 中 自 变量增量 l △t足够小 。即使在  △t并非  很小时 , 拐点法亦可大致确定 K值 的取值范 围, 而只有当 i l △t很小时 , K值 的估计才有较高 

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2卷 1

1 期

20 年 1   02 月

的拟合精度。3 K值估计方法各有优劣 , 种 可视实际情况而定 , 但一般情况下 以四点法为佳。   () 3用线性化 回归方法求解 L gsc o ii模型参数具有简便实用的特点 , t 且在数理统计 理论上  具有一套对线性 回归方程及 回归系数进行显著性检验的完善方法 , 但对 L g t 模型进行线  oii sc 纠 如不再具有无偏性等  。而非线性回归过程可获  引  鲥  引  m  n £  ! 性化变换后会对估计参数的性质产生影响, l   得 L # t 模型参数的最/ _乘无偏性估计 , o sc i b- 具有 比线性化回归更高的拟台精度 , 其算法较  但 为复杂 , 还必须先给出模型参数的初始值 , 而且只有初始值接*最终迭代结果时才具有较快的  迭代 速 度。   () 4 最好的方法是 , 先用线性化回归求出 L g t 模型 3 oii sc 个参数 的估计值并且进行显著性  检验, 再以此估计值为初始值进行非线性回归 , 这样可以最少的迭代次数获得 3 个参数的最佳  拟合精度。   [ 参考文献]  
袁志发, 刘光祖 , 肖俊璋 06 8 .1 法在两种常用生长曲线拟合中的应用[]西北农学院学报 , 8 .: -6  J 1 435 3 9 9 杨 纪珂 . 齐翔林 现代生物统计 [ M]合肥 : 安徽教育 出版社 ,9 5 45 4 9 18 .4 - 4  方 开泰 . 许建伦  统计分布 [ . M]北京 : 科学 出版社 ,9 72 7 2 3 1 8 ,6 - 7 .  

李秋元, 盂德顺.。 L凼斑曲线的性质及其在植物生长分析中的应用[ 西北林学院学报, 9,() 1 6 J ] 1 383: ~8. 9 8  
杨 允菲 . 祝玲 , 张宏一 . 松嫩*原两 种碱蓬群落 土壤种 子库通量及 幼苗死亡 的分析 [ ]生态学 报 ,9 5 J. 19 
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王 窖 , 闰生. 张 温度 与盐度对卤虫生物学特性的影 响[]生态学报 ,9 5 1 ( )2 4 2 9 J. 19 ,5 2 :1 - 1   方精云 . 良龟 夫与生态学 的发展 []生态学 杂志,9 5 1 ( )7 -7   吉 J. 19 .4 2 :0 5 张遵强 , 何希诚 , 胡超宗等 . 紫竹生物学特性的研究 , 竹子研究汇刊 ,9 7 1 ( )6 2  19 ,6 1 :~1 . 王 明亮 . 孙德宙 L ii分布预测林 分直径结构 的研究 []林业科学研究 ,98 1 ( )5 7 5 1 g t n sc J. 19 ,1 5 :3 - 4 

刘晓光 , 高克祥 生长摸型预浊法在杨树细菌溃疡病流行预测中的应用[ 林业科学 , 9. ()1 -1   J ] 1 83 4 : 3 2 9 4 2 8 张贵 , 曹世恩 广义 L i ̄ 模型的推导及其应用[] 中南林学 院学报 ,9 9 1 ( ) 4 —5 . g t n sc J. 19 ,9 I :8 1  
S d T, o eT A pi b i f r  ̄ he t t n o te r w ho t e i s m  dm () Ap L t nt we a Ki d   p la i yo  o x  q i s f h   o t  f r s n t r i I : pi i c l t g m o g e  e a a c o o   w i  p 0e . a F r e , 9 1 6 : 2 ~3 9 ht s r c J Jp o .S i 1 8 , 1 3 1 2   e .

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S u y Olt e fti g m eh d   flg si  u v   t d   i h   t   t o so   itcc r e   i n o
YI Zu y   N  o- un

( und n  oet e ac nt ue G agtm 50 2 , hn ) G a ogF r   s rhIs tt, un z   15 0 C a  g sR e i x i
Ah g l gsi uv  a a —rn ig patcbl y m'  ̄ o it cr eh sfr a gn  rci it Th omuaet t gpt mee c a l efr l si i   ̄ a trK o temo e wi       ma n r fh d l t 3一 h

pit to1 a  eue.I tip pr h te wonw m toset t     a e teL ̄ t  ̄ '  o me :w sdd cd n h  a e.teohrt   e n h s ehd smai K v l   h  c i CFe i g n u c lC
eu t n q a o ,4一 p itmeh :a d ye i   on  to:  r u owad i on   tol n  il n pi tmeh lⅥ ep tfr r .Afe  v lewo v u td.teo h     dg trK  au   se a ae l h   te r

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et td wi [ et rg e o . W i  t   u t   x mpe  i usd.t e rsds si e   t i  ̄  e r ̄ n ma h n r 【 wo qo e e a l ds se h d s c h   ett 

idct ta tremeh d st t g K au l m k   o f t g p eio   p ca  4一 p i meh :b s  n i e h the ad t o se i i ma n v leal a eg o i i   rc, n, d tn s i eiI om tol et  

Mo ev r od err ̄ e o  p l g   b v —me t e   s naev l ,o  ro e ,N r n  ̄  e r s a p { sn  ̄n a d e n i d et 1t a e fK,a   ss r n   o  ̄,e L n o i   u ,ra t t g p i ai n  ̄[   y
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Ke  r I  ̄t   tv ;3一p itreh : yw0 d: g n i cl e c r on t to: a l ;4一p i meh ;yedn  om n t d;rg  ̄s n om  t ̄l iligp i ieh e e r .i   o




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